Modelo Matemáticos; Circuitos en Serie

Otra aplicación de la utilización de Ecuaciones Diferenciales, es en Circuitos en Serie.

Si consideramos un Circuito en Serie simple que tiene un inductor, un resistor y un capacitor, como se muestra en la siguiente figura:

En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se denota por q(t). Las letras L, R y C son conocidas como inductancia, resistencia y capacitancia, respectivamente y en general son constantes.

De acuerdo con la segunda Ley de Kirchhoff, el voltaje aplicado E(t) a un circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje en el circuito.

 Como la corriente i(t) está relacionada con la carga q(t) en el capacitor mediante i=dq/dt, sumamos los tres voltajes.

e igualando la suma de los voltajes con el voltaje aplicado se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden

La cual describe el comportamiento de un Circuito en serie simple.

Problema para resolver en clase
Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 0.5 henrys y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.


Reto
1. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) = 0. Determine la corriente conforme i→ ∞.

Resultado

i(t) = 3/5 - 3/5e(-500t)

i → 3/5 como t→ ∞

2. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 0.0004 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) = 0. Encuentre la corriente i(t).

Resultado

q(t) = 1/100 - 1/100e(-50t)

i (t)=(1/2)e(-50t)

Referencia 
Zill Dennis G., Cullen Michael R., Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera, Editorial CENGAGE Learning, 2009.